જો રેખાઓ frac{x - 1}{alpha} = frac{y + 1}{-1} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) બીજી રેખા બે સમતલોના છેદબિંદુ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x + y + z + 1 = 0$ અને $2x - y + z + 3 = 0$. છેદતી રેખામાંથી પસાર થતા સમતલોના પરિવારનું સમીક

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{32}{19}$

Vedclass · Answer

(C) બીજી રેખા બે સમતલોના છેદબિંદુ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $x + y + z + 1 = 0$ અને $2x - y + z + 3 = 0$. છેદતી રેખામાંથી પસાર થતા સમતલોના પરિવારનું સમીકરણ $(x + y + z + 1) + \lambda(2x - y + z + 3) = 0$ છે,જેનું સાદું રૂપ $(1 + 2\lambda)x + (1 - \lambda)y + (1 + \lambda)z + (1 + 3\lambda) = 0$ થાય છે. પ્રથમ રેખાનો દિશા સદિશ $\vec{v_1} = (\alpha, -1, 1)$ છે. સમતલનો અભિલંબ $\vec{n} = (1 + 2\lambda, 1 - \lambda, 1 + \lambda)$ છે. રેખા સમતલને સમાંતર હોવાથી,$\vec{v_1} \cdot \vec{n} = 0$,તેથી $\alpha(1 + 2\lambda) - (1 - \lambda) + (1 + \lambda) = 0$,જે $\alpha(1 + 2\lambda) + 2\lambda = 0$ આપે છે,અથવા $\alpha = -\frac{2\lambda}{1 + 2\lambda}$. રેખા અને સમતલ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર એ રેખા પરના કોઈપણ બિંદુ (દા.ત.,$(1, -1, 0)$) થી સમતલનું લંબ અંતર છે: $d = \frac{|(1 + 2\lambda)(1) + (1 - \lambda)(-1) + (1 + \lambda)(0) + (1 + 3\lambda)|}{\sqrt{(1 + 2\lambda)^2 + (1 - \lambda)^2 + (1 + \lambda)^2}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. અંશનું સાદું રૂપ: $|1 + 2\lambda - 1 + \lambda + 1 + 3\lambda| = |6\lambda + 1|$. છેદનું સાદું રૂપ: $\sqrt{1 + 4\lambda + 4\lambda^2 + 1 - 2\lambda + \lambda^2 + 1 + 2\lambda + \lambda^2} = \sqrt{6\lambda^2 + 4\lambda + 3}$. બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{(6\lambda + 1)^2}{6\lambda^2 + 4\lambda + 3} = \frac{1}{3} \Rightarrow 3(36\lambda^2 + 12\lambda + 1) = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3$. $108\lambda^2 + 36\lambda + 3 = 6\lambda^2 + 4\lambda + 3 \Rightarrow 102\lambda^2 + 32\lambda = 0$. આમ,$\lambda = 0$ અથવા $\lambda = -\frac{32}{102} = -\frac{16}{51}$. જો $\lambda = 0$ હોય,તો $\alpha = 0$. જો $\lambda = -\frac{16}{51}$ હોય,તો $\alpha = -\frac{2(-16/51)}{1 + 2(-16/51)} = \frac{32/51}{(51 - 32)/51} = \frac{32}{19}$.

જો રેખાઓ $\frac{x - 1}{\alpha} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z}{1}, (\alpha \ne -1)$ અને $x + y + z + 1 = 0 = 2x - y + z + 3$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $\frac{1}{\sqrt{3}}$ હોય,તો $\alpha$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

બિંદુ $A(3, -4, 5)$ નું સમતલ $2x + 5y - 6z = 16$ થી રેખા $\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{-2}$ ની દિશામાં માપેલું અંતર કેટલું છે?

રેખા $\frac{x-5}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+4}{1}$ અને સમતલ $3x-4y-z+5=0$ વચ્ચેનો લઘુકોણ શોધો.

સમતલો $r \cdot (i - 3j + k) = 1$ અને $r \cdot (2i + 5j - 3k) = 2$ ની છેદરેખા કયા સદિશને સમાંતર છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module